【題目】將數(shù)列的前項分成兩部分,且兩部分的項數(shù)分別是,若兩部分和相等,則稱數(shù)列的前項的和能夠進行等和分割.

1)若,試寫出數(shù)列的前項和所有等和分割;

2)求證:等差數(shù)列的前項的和能夠進行等和分割;

3)若數(shù)列的通項公式為:,且數(shù)列的前項的和能夠進行等和分割,求所有滿足條件的.

【答案】1 2)見解析; 3.

【解析】

1)直接利用數(shù)列的通項公式分別計算出前四項的大小,再進行等和分割,即可求解;

2)根據(jù)等差數(shù)列的性質可以得到,進而可以得出前項與后項的和相等;

3)根據(jù)數(shù)列的通項公式求出前n項和,分別討論時滿足等和分割條件的結果.

1)由題意,數(shù)列,

可得

.

2)由數(shù)列為等差數(shù)列,所以,

將上述個兩式子分成兩部分,可得其和是相等的,

所以等差數(shù)列的前項的和能夠進行等和分割.

(3)數(shù)列的通項公式為:,且數(shù)列的前項的和能夠進行等和分割,

可得為偶數(shù),所以,

時,由(2)可知,數(shù)列可以進行等和分割;

時,可首先考慮

則可分割成兩部分,所以

時,前項能進行等和分割,

時,前項為,

由(2)可得能分成等和的兩部分,

分別把兩部分進行加入,可得兩部分和相等,

.

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