Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，即可得結(jié)論；

（2）先求出，結(jié)合定義域轉(zhuǎn)化為證明有兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，按零點(diǎn)存在性定理證明，即可得出結(jié)論.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

，故，

故所求切線的方程為：，即.

（2），，

因?yàn)?/span>，所以只需證明在已知條件下，

恰有兩個(gè)零點(diǎn)即可.

由，

則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，故，所以，

記，則，

所以單調(diào)遞增，

故時(shí)，，

即，，所以，即，

又，

由，，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，可得，

存在唯一，即，使得，

又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，

故恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以，時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).