Question

【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）若，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若且 上最小值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義確定，代入可得實數(shù)的值，再利用定義證明時，函數(shù)為奇函數(shù)，（2）先研究函數(shù)單調(diào)性：為上的單調(diào)遞增函數(shù)，再利用奇函數(shù)和單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式

，最后再根據(jù)一元二次不等式恒成立，利用判別式恒負(fù)求實數(shù)的取值范圍；（3）先根據(jù)條件，解出的值.再根據(jù)與的關(guān)系，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系討論最小值取法，最后由最小值為，求出的值.

試題解析：解：（1）因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，

所以，所以，

（2）由（1）知：，

因為，所以，又且，所以，

所以是上的單調(diào)遞增，

又是定義域為的奇函數(shù)，

所以

即在上恒成立，

所以，即，

所以實數(shù)的取值范圍為.

（3）因為，所以，解得或（舍去），

所以，

令，則，

因為在上為增函數(shù)，且，所以，

因為在上的最小值為，

所以在上的最小值為，

因為的對稱軸為

所以當(dāng)時， ，解得或（舍去），

當(dāng)時， ，解得，

綜上可知：.