Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求證：對(duì)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≥0；
（2）當(dāng)m≤1時(shí)，討論函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當(dāng)m=1時(shí)， ，則f'（x）=ex﹣x﹣1，

令g（x）=ex﹣x﹣1，則g'（x）=ex﹣1，當(dāng)x≥0時(shí)，ex﹣1≥0，即g'（x）≥0，

所以函數(shù)f'（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上為增函數(shù)，

即當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）≥f'（0），所以當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）≥0恒成立，

所以函數(shù) ，在[0，+∞）上為增函數(shù)，又因?yàn)閒（0）=0，

所以當(dāng)m=1時(shí)，對(duì)x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立

（2）解：由（1）知，當(dāng)x≤0時(shí)，ex﹣1≤0，所以g'（x）≤0，所以函數(shù)f'（x）=ex﹣x﹣1的減區(qū)間為（﹣∞，0]，增區(qū)間為[0，+∞）．所以f'（x）min=f'（0）=0，所以對(duì)x∈R，f'（x）≥0，即ex≥x+1．

①當(dāng)x≥﹣1時(shí)，x+1≥0，又m≤1，∴m（x+1）≤x+1，∴ex﹣m（x+1）≥ex﹣（x+1）≥0，即f'（x）≥0，所以當(dāng)x≥﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，又f（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，+∞）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為0．

②當(dāng)x＜﹣1時(shí)，（�。┊�(dāng)0≤m≤1時(shí)，﹣m（x+1）≥0，ex＞0，所以f'（x）=ex﹣m（x+1）＞0，

所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，所以f（x）＜f（﹣1），且 ，

故0≤m≤1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上無(wú)零點(diǎn)．

（ⅱ）當(dāng)m＜0時(shí)，f'（x）=ex﹣mx﹣m，令h（x）=ex﹣mx﹣m，則h'（x）=ex﹣m＞0，

所以函數(shù)f'（x）=ex﹣mx﹣m在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增，f'（﹣1）=e﹣1＞0，

當(dāng) 時(shí)， ，又曲線f'（x）在區(qū)間 上不間斷，

所以x0∈ ，使f'（x0）=0，

故當(dāng)x∈（x0，﹣1）時(shí)，0=f'（x0）＜f'（x）＜f'（﹣1）=e﹣1，

當(dāng)x∈（﹣∞，x0）時(shí)，f'（x）＜f'（x0）=0，

所以函數(shù) 的減區(qū)間為（﹣∞，x0），增區(qū)間為（x0，﹣1），

又 ，所以對(duì)x∈[x0，﹣1），f（x）＜0，

又當(dāng) 時(shí)， ，∴f（x）＞0，

又f（x0）＜0，曲線 在區(qū)間 上不間斷．

所以x1∈（﹣∞，x0），且唯一實(shí)數(shù)x1，使得f（x1）=0，

綜上，當(dāng)0≤m≤1時(shí)，函數(shù)y=f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）有個(gè)兩零點(diǎn)

【解析】（1）當(dāng)m=1時(shí)， ，則f'（x）=ex﹣x﹣1，令g（x）=ex﹣x﹣1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，可得函數(shù)f'（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上為增函數(shù)，即當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）≥f'（0）=0，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，即可證明．（2）由（1）知，當(dāng)x≤0時(shí)，ex﹣1≤0，所以g'（x）≤0，可得ex≥x+1．①當(dāng)x≥﹣1時(shí)，x+1≥0，又m≤1，m（x+1）≤x+1，可得ex﹣m（x+1）≥0，即f'（x）≥0，可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，+∞）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為0．②當(dāng)x＜﹣1時(shí)，（ⅰ）當(dāng)0≤m≤1時(shí)，﹣m（x+1）≥0，ex＞0，可得f'（x）=ex﹣m（x+1）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上無(wú)零點(diǎn)． （ⅱ）當(dāng)m＜0時(shí)，f'（x）=ex﹣mx﹣m，令h（x）=ex﹣mx﹣m，則h'（x）＞0，函數(shù)f'（x）=ex﹣mx﹣m在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增，f'（﹣1）=e﹣1＞0，可得函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．