【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其名命名的函數(shù)f(x)= ,稱為狄利克雷函數(shù),則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個命題: ①f(f(x))=1;
②函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
③任意一個非零有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對任意x∈R恒成立;
④存在三個點(diǎn)A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),C(x3 , f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.
其中真命題的個數(shù)是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】A
【解析】解:①∵當(dāng)x為有理數(shù)時,f(x)=1;當(dāng)x為無理數(shù)時,f(x)=0, ∴當(dāng)x為有理數(shù)時,ff((x))=f(1)=1;當(dāng)x為無理數(shù)時,f(f(x))=f(0)=1,
即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù),均有f(f(x))=1,故①正確;
②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù),
∴對任意x∈R,都有f(﹣x)=f(x),故②正確;
③若x是有理數(shù),則x+T也是有理數(shù);若x是無理數(shù),則x+T也是無理數(shù),
∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,任取一個不為零的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對x∈R恒成立,故③正確;
④取x1=﹣ ,x2=0,x3= ,可得f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0,
∴A( ,0),B(0,1),C(﹣ ,0),恰好△ABC為等邊三角形,故④正確.
即真命題的個數(shù)是4個,
故選:A.
①根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則,可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù),均有f(f(x))=1;
②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,可得f(x)是偶函數(shù);
③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì);
④取x1=﹣ ,x2=0,x3= ,可得A( ,0),B(0,1),C(﹣ ,0),三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若存在,使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上不存在最值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知在三角形ABC中,AB<AC,∠BAC=90°,邊AB,AC的長分別為方程 的兩個實(shí)數(shù)根,若斜邊BC上有異于端點(diǎn)的E,F(xiàn)兩點(diǎn),且EF=1,∠EAF=θ,則tanθ的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)m=1時,求證:對x∈[0,+∞)時,f(x)≥0;
(2)當(dāng)m≤1時,討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F(xiàn)分別為PC,CD的中點(diǎn)
(1)求證:平面ABE⊥平面BEF
(2)設(shè)PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[ , ],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2|+|x+a|(a∈R).
(Ⅰ)若a=5,求函數(shù)f(x)的最小值,并寫出此時x的取值集合;
(Ⅱ)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足:對任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)≥x,且當(dāng)x∈(1,3)時,有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)證明:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求f(x)的表達(dá)式;
(3)設(shè)g(x)=f(x)-x,x∈[0,+∞),若g(x)圖象上的點(diǎn)都位于直線y=的上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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