Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-b

x2+1

與函數(shù)g（x）=

1

2

lnx在點（1，0）處有公共的切線．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）由g（1）=0，g′（1）=

1

2

得f（1）=0，f′（1）=

1

2

，
∴f（1）=

a-b

2

=0，化簡得a=b
由f′（x）=

a(x2+1)-2x(ax-b)

(x2+1)2

=

-ax2+2bx+a

(x2+1)2

得：
f′（1）=

-a+2b+a

4

=

1

2

，聯(lián)立解得：a=1，b=1
∴f（x）=

x-1

x2+1

．
（2）由已知得lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
化簡（x²+1）lnx≥2x-2，
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立
設h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
h′（x）=2xlnx+x+

1

x

-2，
∵x≥1，
∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h′（x）＞0
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
則h（x）≥h（1）=0，
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)的應用，考查學生的運算能力．