Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且點(diǎn)A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+2上，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2b_n-2（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+2，從而{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)a₁=1，由此能求出a_n=2n-1．當(dāng)n=1時(shí)，S₁=b₁=2b₁-2，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，從而{b_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)b₁=2，由此能求出bn=2n．
（Ⅱ）由已知得cn=

2n，n為奇數(shù) -(2n-1)，n為偶數(shù)

，由此能求出數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

解答： 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且點(diǎn)A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+2上，
∴a_n+1=a_n+2，…（1分）
∴{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)a₁=1，∴a_n=2n-1．…（3分）
又當(dāng)n=1時(shí)，S₁=b₁=2b₁-2，解得b₁=2，…（4分）
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，…（5分）
∴b_n=2b_n-1，n≥2，
∴{b_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)b₁=2，
∴bn=2n，…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），
∴cn=

2n，n為奇數(shù) -(2n-1)，n為偶數(shù)

，…（9分）
T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）-（a₂+a₄+…+a_2n）…（11分）
=（2+2³+…+2^2n-1）-[3+7+…+（4n-1）]
=

22n+1-2

3

-2n²-n．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．