Question

已知遞增的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求等差數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n+2an+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出首項和公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由bn=an+2an+1=2n-1+22n=(2n-1)+4n，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列
∴a22=a1a5，(a1+d)2=a1(a1+4d)…（2分）
∴d²=2a₁d…（1分）
∵d＞0，a₁=1，∴d=2，…（1分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（2分）
（2）∵bn=an+2an+1=2n-1+22n=(2n-1)+4n…（2分）
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（1+4）+（3+4²）+（5+4³）+…+[（2n-1）+4ⁿ]
=（1+3+5+…+2n-1）+（4+4²+4³+…+4ⁿ）…（2分）
=

n(1+2n-1)

2

+

4(1-4n)

1-4

=n2+

4n+1

3

-

4

3

…（2分）

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要注意分組求和法的合理運用．