Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+alnx的定義域是D，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對(duì)于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的減函數(shù)；
②對(duì)于任意a∈（-∞，+0），函數(shù)f（x）存在最小值；
③對(duì)于任意a∈（0，+∞），使得對(duì)于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④對(duì)于任意a∈（-∞，+0），使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。〣．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性；分析當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可判斷②；分析函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性，可判斷③．

解答： 解：∵f′（x）=e^x+

a

x

，定義域?yàn)镈（0，+∞）．
當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故f（x）是D上的增函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，存在x₀∈D，使f′（x）=0，
則f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
則f（x₀）為函數(shù)的最小值，故②正確；
當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)x₀，由①得f（x）是D上的增函數(shù)，
則當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜0．故③錯(cuò)誤；
當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，由②得：
f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
f（x₀）＜0，故④正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值，零點(diǎn)，難度中檔．