Question

在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點A₁（-2，0），A₂（2，0），再取兩個動點N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．
（1）求直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；
（2）已知點G（1，0）和G′（-1，0），點P在軌跡M上運動，現(xiàn)以P為圓心，PG為半徑作圓P，試探究是否存在一個以點G′（-1，0）為圓心的定圓，總與圓P內(nèi)切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（　�。┯芍本�方程的點斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，聯(lián)解并結(jié)合mn=3化簡整理得

x2

4

+

y2

3

=1，再由N₁、N₂不與原點重合，可得直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；
（2）由題意，點G（1，0）和G′（-1，0）為橢圓的焦點，則PG+PG′=4，從而PG′=4-PG，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意知直線A₁N₁的方程為：y=

m

2

（x+2）…①；
直線A₂N₂的方程為：y=-

n

2

（x-2）…②
設(shè)Q（x，y）是直線A₁N₁與A₂N₂交點，①、②相乘，得y²=-

mn

4

（x²-4）
由mn=3整理得：

x2

4

+

y2

3

=1
∵N₁、N₂不與原點重合，可得點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上，
∴軌跡M的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（2）由題意，點G（1，0）和G′（-1，0）為橢圓的焦點，則PG+PG′=4，
∴PG′=4-PG，
∴點G′（-1，0）為圓心，4為半徑的定圓，總與圓P內(nèi)切，
方程為（x+1）²+y²=16．

點評：本題著重考查了動點軌跡的求法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．