【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸,離心率為,短軸長為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè),過橢圓左焦點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn),若對滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根據(jù)條件列方程組,解得,,即得結(jié)果;
(2)先討論直線斜率不存在情況,得,再研究直線斜率存在情況,設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用向量數(shù)量積以及韋達(dá)定理化簡得關(guān)于直線斜率的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)分式函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)值域,最后比較兩種情況得結(jié)果.
(1)依題意,,解得,,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè),,
當(dāng)直線垂直于軸時(shí),,且,
此時(shí),,∴.
當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線:,
由,得,
∴,,
∴,
∴
.
要使不等式恒成立,
只需,即的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,,,.
(1)若為中點(diǎn),求證:∥平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若曲線在點(diǎn)處的切線方程是,不等式的解集為非空集合,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求的解析式,并用表示;
(Ⅱ)若任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()經(jīng)過與兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)滿足,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為1,為的中點(diǎn),在側(cè)面上,有下列四個(gè)命題:
①若,則面積的最小值為;
②平面內(nèi)存在與平行的直線;
③過作平面,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,則這樣的平面有4個(gè);
④過作面與面平行,則正方體在面的正投影面積為.
則上述四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別是線段AB、AD、AA1的中點(diǎn),又P、Q分別在線段A1B1、A1D1上,且A1P=A1Q=x(0<x<1).設(shè)平面MEF∩平面MPQ
=l,現(xiàn)有下列結(jié)論:
①l∥平面ABCD;
②l⊥AC;
③直線l與平面BCC1B1不垂直;
④當(dāng)x變化時(shí),l不是定直線.
其中不成立的結(jié)論是________.(寫出所有不成立結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,是橢圓上一點(diǎn),軸,.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(直線不與軸垂直),已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,證明:直線恒過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
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