【題目】如圖,正方體的棱長為1,的中點,在側(cè)面上,有下列四個命題:

①若,則面積的最小值為

②平面內(nèi)存在與平行的直線;

③過作平面,使得棱,在平面的正投影的長度相等,則這樣的平面有4個;

④過作面與面平行,則正方體在面的正投影面積為

則上述四個命題中,真命題的個數(shù)為( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】C

【解析】

①建立空間坐標(biāo)系,得到點應(yīng)該滿足的條件,再根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法求解即可;對于②,平面,所以也與平面相交.故②錯;對于③過作平面,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,因為,且,所以在平面的正投影長度與在平面的正投影長度相等,然后分情況討論即可得到平面的個數(shù);對于④面與面平行,則正方體在面的正投影為正六邊形,且正六邊形的邊長為正三角形外接圓的半徑,故其面積為

解:對于①,以為原點,軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖1所示;

平面,是垂足,過,交,連結(jié),

,,,,

設(shè),則,

,

,解得

,

,

,

當(dāng)時,,①正確;

對于,平面,所以也與平面相交.故②錯;

③過作平面,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,因為,且,故在平面的正投影的長度等于在平面的正投影的長度,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,即使得使得棱,的正投影的長度相等,若棱,,的同側(cè),則為過且與平面平行的平面,若棱,中有一條棱和另外兩條棱分別在平面的異側(cè),則這樣的平面有3個,故滿足使得棱,,在平面的正投影的長度相等的平面有4個;③正確.

④過作面與面平行,則正方體在面的正投影為一個正六邊形,其中平面,而分別垂直于正三角形,所以根據(jù)對稱性,正方體的8個頂點中,在平面內(nèi)的投影點重合與正六邊形的中心,其它六個頂點投影恰是正六邊形的六個頂點,且正六邊形的邊長等于正三角形的外接圓半徑(投影線與正三角形垂直),所以正六邊形的邊長為,所以投影的面積為.④對.

故選:C.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.在購進機器時,可以一次性額外購買幾次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費用200元,另外實際維修一次還需向維修人員支付小費,小費每次50元.在機器使用期間,如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù),則每維修一次需支付維修服務(wù)費用500元,無需支付小費.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時一次性購買幾次維修服務(wù),為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),得下面統(tǒng)計表:

維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),y表示1臺機器在維修上所需的費用(單位:元),表示購機的同時購買的維修服務(wù)次數(shù).

(1)若=10,求yx的函數(shù)解析式;

(2)若要求“維修次數(shù)不大于的頻率不小于0.8,求n的最小值;

(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買10次維修服務(wù),或每臺都購買11次維修服務(wù),分別計算這100臺機器在維修上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)?

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兩個平面有時只相交于一個公共點;

分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交,則交點只可能在兩個平面的交線上;

一條直線與三角形的兩邊都相交,則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi);

A.0B.1C.2D.3

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(1)證明:;

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案例:考察恒等式左右兩邊的系數(shù).

因為右邊,

所以,右邊的系數(shù)為,

而左邊的系數(shù)為

所以

(2)求證:

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(1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);

(2)若把數(shù)學(xué)成績不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)?

(3)從所有參加此次聯(lián)考的學(xué)生中(人數(shù)很多)任意抽取3人,記數(shù)學(xué)成績在134分以上的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.

附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,

參考公式與臨界值表:,其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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