Question

已知函數f（x）=2cos²x-

3

sin2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大時x的值和單調減區(qū)間；
（2）若α為第二象限角，且f(

α

2

-

π

6

)=

1

3

，求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的化簡求值,正弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，然后直接求出最值和單調區(qū)間；
（2）由（1）得f(

α

2

-

π

6

)=

1

3

=2cosα+1，所以cosα=-

1

3

，根據三角函數基本關系式求出sinα的值，再由倍角公式化簡所求式子求值．

解答： 解：由已知f（x）=2cos²x-

3

sin2x=cos2x-

3

sin2x+1=2cos（2x+

π

3

）+1，
所以（1）f（x）的最大值為3；
取得最大時2x+

π

3

=2kπ，所以x=kπ-

π

6

，k∈Z，
單調減區(qū)間為2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，所以kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
（2）由（1）得f(

α

2

-

π

6

)=

1

3

=2cosα+1，所以cosα=-

1

3

，α為第二象限角，所以sinα=

2 2

3

，
所以

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

1-2sin2α

cos2α-2sinαcosα

=

1-2× 8 9

1 9 +2× 2 2 3 × 1 3

=

- 7 9

1 9 + 4 2 9

=

-7

1+4 2

．

點評：本題考查三角函數的最值，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，考查計算能力，此類題目的解答，關鍵是掌握基本的三角函數的性質．