Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，2]上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分類(lèi)討論：由奇偶性的定義分函數(shù)為奇函數(shù)和偶函數(shù)可得a值，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由減函數(shù)可得對(duì)任意的x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）-f（x₂）＞0，變形可得2x1•2x2＜a恒成立，又可得(2x1•2x2)max＜16，可得a≥16．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x，
∴f（-x）=2^-x+a•2^x，
若f（x）為偶函數(shù)，則對(duì)任意的x∈R，都有f（x）=f（-x），
即2^x+a•2^-x=2^-x+a•2^x對(duì)任意的x∈R都成立．
化簡(jiǎn)可得（2^x-2^-x）（1-a）=0對(duì)任意的x∈R都成立．
由于2^x-2^-x不恒等于0，故有1-a=0，即a=1
∴當(dāng)a=1時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；
若f（x）為奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈R，都有f（x）=-f（-x），
即2^x+a•2^-x+2^-x+a•2^x=0，（2^x+2^-x）（1+a）=0對(duì)任意的x∈R都成立．
由于2^x+2^-x不恒等于0，故有1+a=0，即a=-1
∴當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)，
綜上可得當(dāng)a=1時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)；
當(dāng)a≠±1時(shí)，f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）在（-∞，2]上為減函數(shù)，
∴對(duì)任意的x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=(2x1-2x2)(1-

a

2x12x2

)＞0恒成立．
由2x1-2x2＜0，知1-

a

2x12x2

＜0恒成立，即2x1•2x2＜a恒成立．
由于當(dāng)x₁＜x₂≤2時(shí)(2x1•2x2)max＜16，
∴a≥16

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，涉及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．