Question

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=

1

2

CD=2，M是線段AE上的動點．
（Ⅰ）試確定點M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面MDF將幾何體ADE-BCF分成的兩部分的體積之比．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)所給圖形，得到當(dāng)M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF．然后，根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可；
（Ⅱ）利用補圖法，將幾何體ADE-BCF補成三棱柱ADE-B′CF，然后，借助于柱體和椎體的體積公式進行求解即可．

解答： 解析：（Ⅰ）當(dāng)M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF．證明如下：
連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，
由于MN?平面MDF，又AC?平面MDF，
所以AC∥平面MDF．
（Ⅱ）如圖，將幾何體ADE-BCF補成三棱柱ADE-B′CF，
三棱柱ADE-B′CF的體積為V=S△ADE•CD=

1

2

×2×2×4=8，
則幾何體ADE-BCF的體積V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-BCF}-V_F-BB'C=8-

1

3

×(

1

2

×2×2)×2=

20

3

．
三棱錐F-DEM的體積V_{三棱錐M-DEF}=

1

3

×(

1

2

×2×4)×1=

4

3

，
故兩部分的體積之比為

4

3

：(

20

3

-

4

3

)=

1

4

（答1：4，4，4：1均可）．

點評：本題綜合考查了線面平行的判定定理、柱體和椎體的體積公式等知識，屬于中檔題，在解題中，如果求解不規(guī)則幾何體的體積時，一般用割補法進行運算和求解，這就是轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．