Question

在直角坐標(biāo)系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0），過點(diǎn)P（1，0）作直線分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D．
（1）當(dāng)△COP的面積等于△DOP面積時(shí)，求直線CD的方程；
（2）當(dāng)CD的中點(diǎn)在直線x-2y=0上時(shí)，求直線CD的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)直線CD的方程為：y=k（x-1），設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知條件解得

x1= k k-1 y1= k k-1

，

x2= k k+2 y2=- 2k k+2

，
（1）由△COP的面積等于△DOP面積，知y₁=-y₂，由此能求出直線CD的方程．
（2）CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

(

k

k-1

+

k

k+2

)，

1

2

(

k

k-1

-

2k

k+2

)）=（

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

，

2k- 1 2 k2

(k-1)(k+2)

），由CD的中點(diǎn)在直線x-2y=0上，得

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

-

4k-k2

(k-1)(k+2)

=0，由此能求出直線CD的方程．

解答： 解：（1）設(shè)直線CD的方程為：y=k（x-1），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x-y=0

，得

x1= k k-1 y1= k k-1

，
由

y=k(x-1) y=-2x

，得

x2= k k+2 y2=- 2k k+2

，
∵△COP的面積等于△DOP面積，
∴y₁=-y₂，即

k

k-1

=

2k

k+2

，
解得k=4或k=0（舍），
∴直線CD的方程為：y=4（x-1），即4x-y-4=0．
（2）設(shè)直線CD的方程為：y=k（x-1），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x-y=0

，得

x1= k k-1 y1= k k-1

，
由

y=k(x-1) y=-2x

，得

x2= k k+2 y2=- 2k k+2

，
∴CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

(

k

k-1

+

k

k+2

)，

1

2

(

k

k-1

-

2k

k+2

)）=（

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

，

2k- 1 2 k2

(k-1)(k+2)

），
∵CD的中點(diǎn)在直線x-2y=0上，
∴

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

-

4k-k2

(k-1)(k+2)

=0，
解得k=18或k=0（舍），
∴直線CD的方程為y=18（x-1），即18x-y-18=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，是中檔題時(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真[是題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．