Question

為治理霧霾，環(huán)保部門加大對企業(yè)污染物排放的監(jiān)管力度，某企業(yè)決定對一條價值60萬元的老舊流水線進(jìn)行升級改造，既要減少為染污的排放，更要提高該流水線的生產(chǎn)能力，從而提高產(chǎn)品附加值，預(yù)測產(chǎn)品附加值y（單位：萬元）與投入改造資金x（單位：萬元）之間的關(guān)系滿足：①y與（60-x）x²成正比例；②當(dāng)x=30時，y=90；③改造資金x滿足不等式0≤

x

2(60-x)

≤t，其中t為常數(shù)，且t∈[0，3]．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并求出其定義域；
（Ⅱ）求投入改造資金x取何值時，產(chǎn)品附加值y達(dá)到最大？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)y與（60-x）x²成正比例，建立關(guān)系式，再根據(jù)②求出比例系數(shù)，得到函數(shù)f（x）的表達(dá)式，再求函數(shù)的定義域時，要注意條件③的限制性．
（Ⅱ）本題為含參數(shù)的三次函數(shù)在特定區(qū)間上求最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性即可求出最大值，注意分類討論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)y=k（60-x）x²，則
由②可得k=

1

300

，∴y=

1

300

（60-x）x²．
∵0≤

x

2(60-x)

≤t，其中t為常數(shù)，且t∈[0，3]，
∴x∈[0，

120t

1+2t

]，其中t為常數(shù)，且t∈[0，3]；
（Ⅱ）f′（x）=

1

300

x（120-3x），令f′（x）=0，可得x=0或40，

120t

1+2t

≥40，即1≤t≤3時，x∈（0，40），f′（x）＞0，x∈（40，

120t

1+2t

），f′（x）＜0，
∴x=40時，y_max=

320

3

；

120t

1+2t

＜40，即0≤t＜1時，x∈（0，

120t

1+2t

），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=

120t

1+2t

時，y_max=

2880t2

(1+2t)3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的應(yīng)用問題，函數(shù)的解析式、利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的最值及分類討論思想，屬于中檔題．