Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD=45°，AD=1，AB=

2

，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD．
（Ⅰ）求證：PA⊥BD；
（Ⅱ）求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）要證明PA⊥BD，可以證BD⊥平面PAD，由平面PAD⊥平面PBD，證出PD⊥BD即可；
（Ⅱ）取AD的中點E，連結PE，得PE為三棱錐P-BCD的高；求出高PE，底面積S_△BCD，即得三棱錐P-BCD的體積．

解答： 解：（Ⅰ）證明：由∠BAD=45°，AD=1，AB=

2

，利用余弦定理，可得
BD=

AD2+AB2-2×AD×AB×cos∠BAD

=

12+( 2 )2-2×1× 2 ×cos45°

=1，
∴AD⊥BD；
又∵平面PAD⊥平面PBD，∴BD⊥平面PAD；
又PA?平面PAD，∴PA⊥BD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD⊥平面PAD，又BD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
取AD的中點E，連結PE，∵△PAD是正三角形，∴PE⊥AD；
∴PE⊥平面ABCD，即PE為三棱錐P-BCD的高；
在正△PAD中，AD=1，∴PE=

3

2

；
∴三棱錐P-BCD的體積為V=

1

3

×S△BCD×PE=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

．

點評：本題考查了空間中的線線垂直，線面垂直以及面面垂直問題，也考查了利用垂直關系求錐體的體積問題，是中檔題．