Question

在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2
（Ⅰ）求證：平面EDC⊥平面BDC；
（Ⅱ）設F為AB的中點，求直線CF與平面EDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）通過平面與平面垂直的性質定理，證明EP⊥平面BCD．
（Ⅱ）利用體積法求出F到平面DEC的距離h，再求出直線CF與平面EDC所成角的正弦值．

解答： （本題滿分14分）
解、（I）取CD、CB的中點P、N，連接EP，PN，NA，則PN∥BD，且PN=

1

2

BD，∴EP∥AN…（3分）
因為，AB=BC=CA，AN⊥BC，…（4分）
因為，AE⊥平面ABC，AE∥BD，所以，平面ABC⊥平面BDC，…（6分）
∴AN⊥平面BDC，∴EP⊥平面BDC…（8分）
∴平面EDC⊥平面BDC…（9分）
（II）EC=DE=DF=

5

，EF=

2

，CF=

3

，DC=2

2

，∴S△DEC=

6

，S△EDF=

3

2

，…（10分）
設F到平面DEC的距離為h，由CF垂直平面ABDE和V_F-EDC=V_C-EDF，得h=

3

2 2

．…（12分）
設直線CF與平面EDC所成角為θ，則sinθ=

6

4

…（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面所成角的求法，特別是利用等體積法求得F到平面DEC的距離h是關鍵，考查空間想象能力，邏輯推理能力，計算能力．