Question

如果函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（1+x）=4f（

x

2

）成立．
（1）求

b

a

，

c

a

的值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜4a；
（3）若f（0）=1且關(guān)于α不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件，代入得到x²+（2a+b）x+a²+b+c=ax²+2bx+4c，求出 a，b，c的值，繼而求出答案．
（2）求出f（x），得到不等式，解得即可，
（3）f（sinα）≤sinα+m恒成立，即m≥sin²α+sinα+1，求出sin²α+sinα+1的最大值即可．

解答： 解：（1）∵f（1+x）=4f（

x

2

），
∴a（x+1）²+b（x+1）+c=4[a（

1

2

x）²+b（

1

2

x）+c，
整理得，x²+（2a+b）x+a²+b+c=ax²+2bx+4c，
∴2a+b=2b，a=1，a²+b+c=4c，
解得a=1，b=2，c=1，
∴

b

a

=2，

c

a

=1；
（2）∵f（x）=ax²+bx+c，f（x）＜4a；
∴ax²+bx+c＜4a；
由（1）得，a=1，b=2，c=1，
∴x²+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
∴a＞0時(shí)，f（x）的解集為（-3，1）
（3）由（1）得，f（x）=x²+2x+1（a＞0），f（0）=1，
∵f（sinα）≤sinα+m恒成立，
∴sin²α+2sinα+1）≤sinα+m，
∴m≥sin²α+sinα+1=（sinα+

1

2

）²+

3

4

，
∵sinα∈[-1，1]，
∴當(dāng)sinα=1，sin²α+sinα+1有最大值，最大值為3，
∴當(dāng)m≥3時(shí)不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，
故實(shí)數(shù)m取值范圍為[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．