Question

已知3+5i是關(guān)于x的方程x²+px+q=0（p，q∈R）的一個(gè)根，求p，q的值和求方程的另一個(gè)根．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：法一：根據(jù)根與方程之間的關(guān)系，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．
法二：根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程，虛根必成對(duì)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵3+5i是關(guān)于x的方程x²+px+q=0（p，q∈R）的一個(gè)根，
∴（3+5i）²+p（3+5i）+q=0，
整理得（3p+q-16）+（30+5p）i=0，
則

3p+q-16=0 30+5p=0

，解得p=-6，q=34，
于是方程為x²-6x+34=0
配方得：（x-3）²=-25=25•i²
解得x-3=5i，或，x-3=-5i
即：方程的另一個(gè)根為x=3-5i
（解法二：因?yàn)?+5i是方程的一個(gè)根，那么方程的另一個(gè)根必為3-5i．
于是由韋達(dá)定理得：

x1+x2=(3+5i)+(3-5i)=-p x1•x2=(3+5i)(3-5i)=q

解之 p=-6，q=34．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的求解，結(jié)合實(shí)系數(shù)方程和復(fù)數(shù)的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵．