Question

【題目】將函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）先利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡函數(shù)，令得極值點(diǎn)，判斷出全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（2）利用，求出,作商，利用等比數(shù)列的定義判斷出是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，一步求出數(shù)列前項(xiàng)的和．

(1)

令，即

所以函數(shù)的極值點(diǎn)為.

從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

所以數(shù)列

（2）由可知對任意的正整數(shù)，都不是的整數(shù)倍.

所以

所以數(shù)列為等比數(shù)列.

所以

.