【題目】三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè), 分別為線段, 的中點(diǎn), 為線段上的點(diǎn),且.
(1)證明: 為線段的中點(diǎn);
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明詳見解析;(2).
【解析】試題分析:根據(jù)側(cè)視圖和俯視圖可知, 為正三角形,頂點(diǎn)D在底面內(nèi)的射影為BD的中點(diǎn)O,所以兩兩互相垂直,故可以為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系如圖所示.(1),為了證明點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),只需利用向量證明即可.(2)利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量,求出法向量的夾角即可得二面角的余弦值.
試題解答:取BD的中點(diǎn)O,建坐標(biāo)系如圖所示,則, ,設(shè)(1)證明:設(shè),則, .因?yàn)?/span> ,所以點(diǎn)P是BC的中點(diǎn).
(2)易平面PMN的法向量為.,設(shè)平面ABC的法向量為,則 ,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(Ⅰ)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)CD=時(shí),求直線CD的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】風(fēng)景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹,記作A,B,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測量P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離,現(xiàn)可測得A,B兩點(diǎn)間的距離為100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如圖所示.則P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離各為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,四邊形是矩形,平面 平面,點(diǎn)、分別為、中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若,求平面DEF與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線 (為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線.
(Ⅰ)求曲線和直線的普通方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100dm2的矩形薄鐵皮(如圖),并沿虛線l1,l2裁剪成A,B,C三個(gè)矩形(B,C全等),用來制成一個(gè)柱體.現(xiàn)有兩種方案:
方案①:以為母線,將A作為圓柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面;
方案②:以為側(cè)棱,將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個(gè)正方形(各邊分別與或垂直)作為正四棱柱的兩個(gè)底面.
(1)設(shè)B,C都是正方形,且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面,求底面半徑;
(2)設(shè)的長為dm,則當(dāng)為多少時(shí),能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面ABCD為梯形,,則在面PBC內(nèi)
A. 一定存在與CD平行的直線
B. 一定存在與AD平行的直線
C. 一定存在與AD垂直的直線
D. 不存在與CD垂直的直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求證:若函數(shù)在處取得極值,則對(duì)恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一條動(dòng)直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,
(1)求證:直線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在直線滿足下列條件:①△AOB的周長為12;②△AOB的面積為6,若存在,求出方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)取最小值時(shí),求直線的方程.
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