【題目】已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,
(1)求證:直線恒過定點,并求出定點P的坐標;
(2)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,是否存在直線滿足下列條件:①△AOB的周長為12;②△AOB的面積為6,若存在,求出方程;若不存在,請說明理由.
(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,當取最小值時,求直線的方程.
【答案】(1)證明見解析;(2)存在;直線方程為3x+4y-12=0(3)3x+3y-10=0
【解析】
(1)將題目所給直線方程重新整理,由此證得直線恒過定點,并求得定點坐標.
(2)設(shè)出直線方程截距式,根據(jù)題目所給條件,求出直線方程.
(3)設(shè)出直線的傾斜角,求得的表達式并結(jié)合三角函數(shù)的知識求得最小值,以及此時的直線方程.
(1)依題意直線方程為,
即,
即,
所以由,解得,故直線過定點.
(2)依題意設(shè)直線方程為,將代入得①.
則,則,解得或.
其中不滿足①,滿足①.
所以存在直線,即滿足條件.
(3)由(1)知直線過定點,而若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,所以直線的傾斜角,
所以,
所以②,
令,
由于,所以,所以,
所以.
則②可化為,由于在上為減函數(shù),所以在上為增函數(shù),故當,即時,取得最小值為.此時直線方程為,即,
也即.
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【題目】三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè), 分別為線段, 的中點, 為線段上的點,且.
(1)證明: 為線段的中點;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x)+a的最大值為2.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)在給定的直角坐標系上作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象:
(3)求函數(shù)f(x)在[,]上的零點,
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,離心率為,過的直線與橢圓交于兩點,且的周長為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點,且與橢圓交于兩點,求面積的最大值.
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【題目】直線l與兩直線y=1和x-y-7=0分別交于A,B兩點,若線段AB的中點為M(1,-1),則直線l的斜率為( )
A. B. C. D.
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【題目】四棱錐中,底面是邊長為的菱形,側(cè)面底面,, , 是中點,點在側(cè)棱上.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若是中點,求二面角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】小明家的晚報在下午任何一個時間隨機地被送到,他們一家人在下午任何一個時間隨機地開始晚餐.為了計算晚報在晚餐開始之前被送到的概率,某小組借助隨機數(shù)表的模擬方法來計算概率,他們的具體做法是將每個1分鐘的時間段看作個體進行編號,編號為01,編號為02,依此類推,編號為90.在隨機數(shù)表中每次選取一個四位數(shù),前兩位表示晚報時間,后兩位表示晚餐時間,如果讀取的四位數(shù)表示的晚報晚餐時間有一個不符合實際意義,視為這次讀取的無效數(shù)據(jù)(例如下表中的第一個四位數(shù)6548中的65不符合晚報時間).按照從左向右,讀完第一行,再從左向右讀第二行的順序,讀完下表,用頻率估計晚報在晚餐開始之前被送到的概率為( )
6548 1176 7417 4685 0950 5804 7769 7473 0395 7186 |
8012 4356 3517 7270 8015 4531 8223 7421 1157 8263 |
A.B.C.D.
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