Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：它的平方數(shù)列{a_n²}是公差為1，第4項(xiàng)為4的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列b_n=

1

an+1+an

的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件確定a₁，構(gòu)造等差數(shù)列即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n的通項(xiàng)公式，利用分母有理化，進(jìn)行求和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n²}是公差為1，第4項(xiàng)為4的等差數(shù)列，
∴a₄²=a₁²+（4-1）×1=4，即a₁²=1，
即數(shù)列{

a

2 n

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則

a

2 n

=1+（n-1）=n，
即a_n=±

n

．
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，
∴a_n=

n

．
（2）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，
則S_n=（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用分母有理化進(jìn)行數(shù)列求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．