【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.

(1)求該拋物線的方程;

(2)已知拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條弦,且,判斷直線是否過定點(diǎn)?并說明理由.

【答案】(1).(2)

【解析】試題分析:(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線方程可求;
(2)由(1)求出M的坐標(biāo),設(shè)出直線DE的方程 ,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積,利用 得到t與m的關(guān)系,進(jìn)一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過定點(diǎn).

試題解析:

(1)由題意設(shè)拋物線方程為,

其準(zhǔn)線方程為

到焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離,

,∴.

∴拋物線的方程為.

(2)由(1)可得點(diǎn),可得直線的斜率不為0,

設(shè)直線的方程為: ,

聯(lián)立,得,

①.

設(shè),則.

,得: ,

,即,

代人①式檢驗(yàn)均滿足,

∴直線的方程為: .

∴直線過定點(diǎn)(定點(diǎn)不滿足題意,故舍去).

點(diǎn)睛:拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ),它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,又能與距離聯(lián)系起來,那么用拋物線定義就能解決問題.因此,涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題,可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a1+a5=17.
(1)若{an}還同時(shí)滿足: ①{an}為等比數(shù)列;②a2a4=16;③對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n<a2n+2 , 試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)若{an}為等差數(shù)列,且S8=56. ①求該等差數(shù)列的公差d;②設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=3nan , 則當(dāng)n為何值時(shí),bn最大?請(qǐng)說明理由.

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(1)求曲線的方程;

(2)設(shè)是曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 (異于點(diǎn)),若直線分別交軸于點(diǎn),證明: 為定值.

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【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1且an+1=an+2n+1,設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an﹣1,對(duì)任意正整數(shù)n不等式 均成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

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【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其左頂點(diǎn)在圓上.

Ⅰ)求橢圓的方程;

直線交橢圓兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),且直線軸的交于點(diǎn),試問的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由

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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).求證:
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(2)AC1∥平面B1CD.

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【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,△PAB為正三角形,四邊形ABCD為矩形,平面PAB⊥平面ABCD,AB=2AD,M,N分別為PB,PC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN∥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角B﹣AM﹣C的大;
(Ⅲ)在BC上是否存在點(diǎn)E,使得EN⊥平面AMN?若存在,求 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2)過點(diǎn)E(﹣1,0)作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線EA,EB分別與拋物線C和圓F:x2+(y﹣2)2=4相切于點(diǎn)A,B,試判斷直線AB是否經(jīng)過焦點(diǎn)F.

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