Question

已知向量

a

=(cos(2x-

π

3

)，cos(

π

4

+x))，

b

=(1，-2sin(

π

4

+x))，f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A為等腰三角形ABC的一個底角，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量數(shù)量積的公式和兩角和公式化簡整理求得函數(shù)f（x）的解析式，進而根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求得答案．
（Ⅱ）根據(jù)A的范圍，求得2A-

π

6

的范圍，進而求得sin（2A-

π

6

）的范圍，最后求得函數(shù)f（x）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=cos(2x-

π

3

)-2sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)
=cos(2x-

π

3

)-sin(

π

2

+2x)=cos(2x-

π

3

)-cos2x
=cos2x•cos

π

3

+sin2x•sin

π

3

-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)，
∴最小正周期T=π．
（Ⅱ）∵A為等腰三角形ABC的一個底角，
∴0＜A＜

π

2

，
∴0＜2A＜π，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，即-

1

2

＜f(A)≤1．
∴f（A）的取值范圍為（-

1

2

，1]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，誘導公式，平面向量的運算，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等知識．