Question

如圖，設(shè)P₁，P₂，…，P₆為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)．現(xiàn)從這六個(gè)點(diǎn)中任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S．
（1）求S=

3

2

的概率；
（2）求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E（S）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由古典概型的概率計(jì)算公式，能求出取出的三角形的面積S=

3

2

的概率．
（2）由題設(shè)條S的所有可能取值為為

3

4

，

3

2

，

3 3

4

，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量S的分布列及期望．

解答： 解：（1）從這六個(gè)點(diǎn)中任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，共有

C

3 6

種不同的選法，
其中S=

3

2

的為有一個(gè)角是30°的三角形，共6×2=12種
所以，P(S=

3

2

)=

12

C 3 6

=

3

5

．                            （4分）
（2）S的所有可能取值為

3

4

，

3

2

，

3 3

4

．
S=

3

4

的為頂角是120°的等腰三角形（如△P₁P₂P₃），共6種，
所以，P(S=

3

4

)=

6

C 3 6

=

3

10

．                                   （6分）
S=

3 3

4

的為等邊三角形（如△P₁P₃P₅），共2種，
所以，P(S=

3 3

4

)=

2

C 3 6

=

1

10

，（ 8分）
P（S=

3

2

）=

3

5

，
所以S的分布列為

S	3 4	3 2	3 3 4
P	3 10	3 5	1 10

ES=

3

4

×

3

10

+

3

2

×

3

5

+

3 3

4

×

1

10

=

9 3

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．