Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）²e^x在x=2時取得極小值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）是否存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在該區(qū)間上的值域為[e⁴m，e⁴n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過求導(dǎo)直接得出，（2）構(gòu)造出新函數(shù)通過求導(dǎo)得出方程組，解得即可．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2），
由題意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．              
當(dāng)a=2時，f'（x）=e^xx（x-2），
易知f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，符合題意；
當(dāng)a=4時，f'（x）=e^x（x-2）（x-4），
易知f（x）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，4），（4，+∞）上為減函數(shù)，不符合題意．
所以，滿足條件的a=2．                            
（2）因為f（x）≥0，所以m≥0．                    
①若m=0，則n≥2，因為f（0）=4＜e⁴n，所以（n-2）²eⁿ=e⁴n．    
設(shè)g(x)=

(x-2)2

x

ex(x≥2)，則g′(x)=[

x2-4

x2

+

(x-2)2

x

]ex≥0，
所以g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)．
由于g（4）=e⁴，即方程（n-2）²eⁿ=e⁴n有唯一解為n=4．
②若m＞0，則2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．
（Ⅰ）n＞m＞2時，

f(m)=(m-2)2em=e4m f(n)=(n-2)2en=e4n

，
由①可知不存在滿足條件的m，n．       
（Ⅱ）0＜m＜n＜2時，

(m-2)2em=e4n (n-2)2en=e4m

，
兩式相除得m（m-2）²e^m=n（n-2）²eⁿ．
設(shè)h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
則h'（x）=（x³-x²-4x+4）e^x
=（x+2）（x-1）（x-2）e^x，
h（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，
由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，
此時（m-2）²e^m＜4e＜e⁴n，矛盾．
綜上所述，滿足條件的m，n值只有一組，且m=0，n=4．

點評：本題考察了求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，解題中用到了分類討論思想，是一道較難的問題．