Question

在圖的幾何體中，面ABC∥面DEFG，∠BAC=∠EDG=120°，四邊形 ABED 是矩形，四邊形ADGC 是直角梯形，∠ADG=90°，四邊形 DEFG 是梯形，EF∥DG，AB=AC=AD=EF=1，DG=2．
（1）求證：FG⊥面ADF；
（2）求二面角F-GC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接DF，證明FG⊥DF，AD⊥FG，利用線面垂直的判定定理，即可證明FG⊥面ADF；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面FGC的法向量、平面GCD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-GC-D的余弦值

解答： （1）證明：連接DF，則DF=1，F(xiàn)G=BC=

1+1-2•1•1•cos120°

=

3

，
∵DG=2，
∴DF²+FG²=DG²，
∴FG⊥DF，
∵四邊形 ABED 是矩形，四邊形ADGC 是直角梯形，∠ADG=90°，
∴AD⊥DE，AD⊥DG，
∵DE∩DG=D，
∴AD⊥四邊形DEFG，
∴AD⊥FG，
∵AD∩DF=D，
∴FG⊥面ADF；
（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則F（

3

2

，

1

2

，0），G（0，2，0），C（0，1，1），
∴

FG

=（-

3

2

，

3

2

，0），

GC

=（0，-1，1），
設(shè)平面FGC的法向量為

n

=（x，y，z），則

- 3 2 x+ 3 2 y=0 -y+z=0

，
取

n

=（

3

，1，1），
∵平面GCD的一個(gè)法向量為

m

=（

3

2

，0，0），
∴二面角F-GC-D的余弦值為

3 2

5 • 3 2

=

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題以不規(guī)則幾何體為載體，考查空間線面關(guān)系的判斷與證明，空間角的計(jì)算，堅(jiān)持向量法與公理化法的“雙軌”處理模式，在復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)引起高度注意．