Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-1nx，x∈（0，e]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）對于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）對于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，等價于f（x）_min≥3，分類討論，求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f′（x）=

2x2-1

x

，
x∈（0，

2

2

）時，f（x）單調(diào)遞減，x∈（

2

2

，e）時，f（x）單調(diào)遞增，
所以x=

2

2

時，f（x）_極小值=f（

2

2

）=

1

2

+

1

2

ln2；
（2）任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，等價于f（x）_min≥3，
f′（x）=

2ax2-1

x

，x∈（0，e]，
①a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）遞減，f（x）_min=f（e）=ae²-1≥3，∴a≥

4

e2

，不符合題意；
②a＞0時，f′（x）=

2ax2-1

x

=0，得x=±

1 2a

．
若

1 2a

≥e，即a≤

1

2e2

，則f'（x）≤0，f（x）在（0，e]遞減，f_min（x）=f（e）所以f(e)=ae2-1≥3⇒a≥

4

e2

，所以a無解．            （12分）
若

1 2a

＜e，即a＞

1

2e2

時，當x∈(0，

1 2a

)時f（x）單調(diào)遞減；當x∈(

1 2a

，e)時f（x）單調(diào)遞增．
所以fmin(x)=f(

1 2a

)=

1

2

+

1

2

ln2a，

1

2

+

1

2

ln2a≥3，解得a≥

e5

2

，
所以a≥

e5

2

（15分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．