Question

已知定點A（1，0），B為x軸負半軸上的動點，以AB為邊作菱形ABCD，使其兩對角線的交點H恰好落在y軸上．
（1）求動點D的軌跡E的方程；
（2）若四邊形MPNQ的四個頂點都在曲線E上，M、N關(guān)于x軸對稱，曲線E在點M處的切線為l，且PQ∥l．
①證明：直線PN與QN的斜率之和為定值；
②當點M的橫坐標為

3

4

，縱坐標大于0，∠PNQ=60°，求四邊形MPNQ的面積．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由AC⊥BD得

BD

•

CA

=0，從而可求動點D的軌跡E的方程；
（2）①利用PQ∥l，可得

4

y1+y2

=

2

y0

，即y₂-y₀=y₀-y₁，從而可證明直線PN與QN的斜率之和為定值；
②求出M，N的坐標，直線PN、QN的方程，與拋物線方程聯(lián)立，即可求出四邊形MPNQ的面積．

解答： （1）解：設(shè)D（x，y），∵A（1，0），由ABCD為菱形且AC、BD的交點在y軸上，∴B、C兩點坐標為（-x，0）、（-1，y）．
由AC⊥BD得

BD

•

CA

=（2x，y）•（2，-y）=4x -y²=0，
即y² =4x．
注意到ABCD為菱形，∴x≠0
故軌跡E的方程為y² =4x（x≠0）；
（2）①證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀）（不妨設(shè)y₀＞0），則N（x₀，-y₀），
k_PQ=

4

y1+y2

，kPN=

4

y1-y0

，k_QN=

4

y2-y0

，
∵kl=

1

x0

=

2

y0

，k_l=k_PQ，
∴

4

y1+y2

=

2

y0

，
∴y₁+y₂=2y₀，
∴y₂-y₀=y₀-y₁，
∴直線PN與QN的斜率之和為

4

y1-y0

+

4

y2-y0

=0；
②解：∵點M的橫坐標為

3

4

，縱坐標大于0，
∴M（

3

4

，

3

），N（

3

4

，-

3

），
∵直線PN與QN的斜率之和為0，MN⊥x軸，
∴MN平分∠PNQ，
∵∠PNQ=60°，
∴kPN=-

3

，kQN=

3

，
∴直線PN：y+

3

=-

3

（x-

3

4

），即y=-

3

x-

3

4

；直線QN：y=

3

x-

7 3

4

，
直線PN與拋物線聯(lián)立，可得48x²-40x+3=0，∴

3

4

x₁=

3

48

，∴x₁=

1

12

；
同理x₂=

49

12

，
∴四邊形MPNQ的面積S=

1

2

|MN||x₂-x₁|=

3

|x₂-x₁|=4

3

．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．