Question

已知直線l：ax+by+c=0．
（Ⅰ）求證：直線ax+by+c=0通過定點(diǎn)（1，1）的充要條件是a+b+c=0（a，b，c不全為0）；
（Ⅱ）若直線l：ax+by+c=0與直線2x+y+3=0平行，求

a-3b

a+b

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（I）充分性：a+b+c=0⇒a•1+b•1+c=0，即點(diǎn)（1，1）滿足方程ax+by+c=0．
必要性：若直線ax+by+c=0過定點(diǎn)（1，1）⇒a+b+c=0．
（II）直線l：ax+by+c=0與直線2x+y+3=0平行，可得

a

2

=

b

1

⇒

a

b

=2．化簡(jiǎn)

a-3b

a+b

=

a b -3

a b +1

即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）充分性：若a+b+c=0，則a•1+b•1+c=0，即點(diǎn)（1，1）滿足方程ax+by+c=0，即直線ax+by+c=0過定點(diǎn)（1，1）．
必要性：若直線ax+by+c=0過定點(diǎn)（1，1），則坐標(biāo)（1，1）滿足方程ax+by+c=0，即a•1+b•1+c=0，即a+b+c=0．
（Ⅱ）∵直線l：ax+by+c=0與直線2x+y+3=0平行，∴

a

2

=

b

1

⇒

a

b

=2．
∴

a-3b

a+b

=

a b -3

a b +1

=-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線過定點(diǎn)問題、充要條件、直線平行于斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．