Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為

2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有的P點(diǎn)的坐標(biāo)及l(fā)的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)F（c，0），則直線l的方程為x-y-c=0，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離求得c，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和b．
（II）由（I）可得橢圓的方程，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），l：x=my+1代入橢圓的方程中整理得方程△＞0．由韋達(dá)定理可求得y₁+y₂和y₁y₂的表達(dá)式，假設(shè)存在點(diǎn)P，使

OP

=

OA

+

OB

成立，則其充要條件為：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），代入橢圓方程；把A，B兩點(diǎn)代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程求得c，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求出m的值得出直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)F（c，0），直線l：x-y-c=0，
∵坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為

2

2

，
∴

|0-0-c|

2

=

2

2

，解得c=1
又e=

c

a

=

3

3

，
∴a=

3

，b=

2

，
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
由題意知l的斜率為一定不為0，故不妨設(shè)l：x=my+1，
代入橢圓的方程中整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，顯然△＞0．
由韋達(dá)定理有：y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

，①
假設(shè)存在點(diǎn)P，使

OP

=

OA

+

OB

成立，則其充要條件為：
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），點(diǎn)P在橢圓上，即

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1．
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6．
又A、B在橢圓上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6、
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②
將x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1及①代入②解得m2=

1

2

∴y₁+y₂=±

2

2

，
x₁+x₂=-

4m

2m2+3

+2=

3

2

，即P（

3

2

，±

2

2

），
∴直線l的方程為x=±

2

2

y+1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓C的方程的求法，探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，有難度．