Question

如果數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=0且|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1（n≥3，n∈N^*），則稱數(shù)列{a_n}為n階“歸化數(shù)列”．
（1）若某4階“歸化數(shù)列”{a_n}是等比數(shù)列，寫出該數(shù)列的各項(xiàng)；
（2）若某11階“歸化數(shù)列”{a_n}是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）若{a_n}為n階“歸化數(shù)列”，求證：a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n

a_n≤

1

2

-

1

2n

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,等差關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出4階“歸化數(shù)列”{a_n}的首項(xiàng)和公比，由a₁+a₂+a₃+a₄=0求出公比，再結(jié)合|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|=1求出首項(xiàng)，則數(shù)列的各項(xiàng)可求；
（2）設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=0可得a₆=0，然后分公差大于0和公差小于0兩種情況列式求首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（3）由歸化數(shù)列定義可知{a_n}中所有正數(shù)項(xiàng)的和等于

1

2

，所有負(fù)數(shù)項(xiàng)的和等于-

1

2

，然后利用放縮法證明題中所給的不等式．

解答： （1）解：設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄成公比為q的等比數(shù)列，顯然q≠1，則由a₁+a₂+a₃+a₄=0，
得

a1(1-q4)

1-q

=0，解得q=-1．
由|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|=1，得4|a₁|=1，解得a1=±

1

4

．
∴數(shù)列

1

4

，-

1

4

，

1

4

，-

1

4

或-

1

4

，

1

4

，-

1

4

，

1

4

為所求四階“歸化數(shù)列”；
（2）解：設(shè)等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a₁₁的公差為d，
由a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=0，得：
11a1+

11×10d

2

=0，
∴a₁+5d=0，即a₆=0，
當(dāng)d=0時(shí)，與歸化數(shù)列的條件相矛盾，
當(dāng)d＞0時(shí)，由a1+a2+…+a5=-

1

2

，a6=0，得：

5a1+10d=- 1 2 a1+5d=0

，解得d=

1

30

，a1=-

1

6

，
∴an=-

1

6

+

n-1

30

=

n-6

30

(n∈N*，n≤11)．
當(dāng)d＜0時(shí)，由a1+a2+…+a5=

1

2

，a6=0，得：

5a1+10d= 1 2 a1+5d=0

，解得d=-

1

30

，a1=

1

6

，
∴an=

1

6

-

n-1

30

=-

n-6

30

（n∈N^*，n≤11）．
∴an=

n-6 30 d＞0 - n-6 30 d＜0

（n∈N^*，n≤11）；
（3）證明：由已知可知，必有a_i＞0，也必有a_j＜0（i，j∈{1，2，…，n，且i≠j）．
設(shè)ai1，ai2，…，aip為諸a_i中所有大于0的數(shù)，aj1，aj2，…，ajm為諸a_i中所有小于0的數(shù)．
由已知得X=ai1+ai2+…+aip=

1

2

，Y=aj1+aj2+…+ajm=-

1

2

．
∴a1+

1

2

a2+…+

1

n

an=

p

k=1

aik

ik

+

m

k=1

ajk

jk

≤

p

k=1

aik+

1

n

m

k=1

ajk=

1

2

-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系和等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了放縮法證明不等式，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)新定義“歸化數(shù)列”的理解，是中檔題．