【題目】如圖所示,在三棱柱中,為棱的中點(diǎn).
(1)求證:平面.
(2)若平面,,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)連接交于點(diǎn),連接,則為的中點(diǎn),為棱的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線得到,再利用線面平行的判定定理證明.
(2)取的中點(diǎn),連接,過作交于點(diǎn),根據(jù)平面,,得到,,兩兩垂直,以為原點(diǎn),,,分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.分別求得平面和平面的一個(gè)法向量,代入公式求解.
(1)如圖所示:
連接交于點(diǎn),連接,則為的中點(diǎn),
因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn),所以.
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
(2)取的中點(diǎn),連接,過作交于點(diǎn),
因?yàn)?/span>平面,,,所以,,兩兩垂直,
故以為原點(diǎn),,,分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由題意可得,,,,
所以,,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,
即,
令,,可得,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
,
即
令可得,
設(shè)二面角的大小為,
則,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京地鐵八通線西起四惠站,東至土橋站,全長18.964km,共設(shè)13座車站.目前八通線執(zhí)行2014年12月28日制訂的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),各站間計(jì)程票價(jià)(單位:元)如下:
四惠 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
四惠東 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ||
高碑店 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | p>5 | |||
傳媒大學(xué) | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||||
雙橋 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | |||||
管莊 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | ||||||
八里橋 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |||||||
通州北苑 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
果園 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||
九棵樹 | 3 | 3 | 3 | ||||||||||
梨園 | /p> | 3 | 3 | ||||||||||
臨河里 | 3 | ||||||||||||
土橋 | |||||||||||||
四惠 | 四惠東 | 高碑店 | 傳媒大學(xué) | 雙橋 | 管莊 | 八里橋 | 通州北苑 | 果園 | 九棵樹 | 梨園 | 臨河里 | 土橋 |
(Ⅰ)在13座車站中任選兩個(gè)不同的車站,求兩站間票價(jià)不足5元的概率;
(Ⅱ)甲乙二人從四惠站上車乘坐八通線,各自任選另一站下車(二人可同站下車),記甲乙二人乘車購票花費(fèi)之和為X元,求X的分布列;
(Ⅲ)若甲乙二人只乘坐八通線,甲從四惠站上車,任選另一站下車,記票價(jià)為元;乙從土橋站上車,任選另一站下車,記票價(jià)為元.試比較和的方差和大小.(結(jié)論不需要證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)、是空間兩條不同的直線,、是空間兩個(gè)不同的平面.給出下列四個(gè)命題:
①若,,,則;
②若,,,則;
③若,,,則;
④若,,,,則.
其中正確的是__________(填序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是梯形,,,,,側(cè)面底面.
(1)求證:平面平面;
(2)若,且三棱錐的體積為,求側(cè)面的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸與短軸比值是2,橢圓C過點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),記△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為S△AOB,將S△AOB表示為m的函數(shù),并求S△AOB的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】千百年來,我國勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化,總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn),并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語,如“天上鉤鉤云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走,雨在半夜后”,觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣,得到如下列聯(lián)表:
夜晚天氣 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出現(xiàn) | 25 | 5 |
未出現(xiàn) | 25 | 45 |
臨界值表 | ||||
P() | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并計(jì)算得到,下列小波對地區(qū)A天氣判斷不正確的是( )
A.夜晚下雨的概率約為
B.未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為
C.有的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)
D.出現(xiàn)“日落云里走”,有的把握認(rèn)為夜晚會下雨
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天津市某學(xué)校組織教師進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽,規(guī)則為:每位參賽教師都要回答3個(gè)問題,且對這三個(gè)問題回答正確與否相互之間互不影響,若每答對1個(gè)問題,得1分;答錯(cuò),得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等獎(jiǎng)分別給予獎(jiǎng)勵(lì).已知對給出的3個(gè)問題,教師甲答對的概率分別為,,p.若教師甲恰好答對3個(gè)問題的概率是,則________;在前述條件下,設(shè)隨機(jī)變量X表示教師甲答對題目的個(gè)數(shù),則X的數(shù)學(xué)期望為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】約公元前600年,幾何學(xué)家泰勒斯第一個(gè)測出了金字塔的高度.如圖,金字塔是正四棱錐,泰勒斯先測量出某個(gè)金字塔的底棱長約為230米;然后,他站立在沙地上,請人不斷測量他的影子,當(dāng)他的影子和身高相等時(shí),他立刻測量出該金字塔影子的頂點(diǎn)A與相應(yīng)底棱中點(diǎn)B的距離約為22.2米.此時(shí),影子的頂點(diǎn)A和底面中心O的連線恰好與相應(yīng)的底棱垂直,則該金字塔的高度約為( )
A.115米B.137.2米C.230米D.252.2米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高中三個(gè)年級共有4000人,為了了解各年級學(xué)周末在家的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)通過分層抽樣的方法獲得相關(guān)數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)),其中高一學(xué)生周末的平均學(xué)習(xí)時(shí)間記為.
高一:14 15 15.5 16.5 17 17 18 19
高二:15 16 16 16 17 17 18.5
高三:16 17 18 21.5 24
(1)求每個(gè)年級的學(xué)生人數(shù);
(2)從高三被抽查的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求2人學(xué)習(xí)時(shí)間均超過的概率.
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