三棱錐A-BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP．

（1）證明：P是線段BC的中點(diǎn)；
（2）求二面角A-NP-M的余弦值．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,用空間向量求平面間的夾角
專題：空間向量及應(yīng)用
分析：（1）用線面垂直的性質(zhì)和反證法推出結(jié)論，
（2）先建空間直角坐標(biāo)系，再求平面的法向量，即可求出二面角A-NP-M的余弦值．
解答： 解：（1）由三棱錐A-BCD及其側(cè)視圖、俯視圖可知，在三棱錐A-BCD中：
平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2
設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OA，OC
于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC
因?yàn)镸，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP
假設(shè)P不是線段BC的中點(diǎn)，則直線NP與直線AC是平面ABC內(nèi)相交直線
從而BD⊥平面ABC，這與∠DBC=60°矛盾，所以P為線段BC的中點(diǎn)
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，
3
），M（-
1
2
，O，-
3
2
），N（
1
2
，0，
3
2
），P（
1
2
，
3
2
，0）
于是
AN
=(
1
2
，0，
3
2
)，
PN
=(0，
3
2
，
3
2
)，
MN
=(1，0，0)
設(shè)平面ANP和平面NPM的法向量分別為
m
=(x1，y1，z1)和
n
=(x2，y2，z2)
由
AN•
m
=0
PN•
m
=0
，則
1
2
x1-
3
2
z1=0
-
3
2
y1+
3
2
z1=0
，設(shè)z1=1，則
m
=(
3
，1，1)
由
MN
•
n
=0
PN
•
n
=0
，則
x2=0 
-
3
2
y2+
3
2
z2=0
，設(shè)z2=1，則
n
=(0，1，1)
cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
| |
n
|
=
2
5
•
2
=
10
5

所以二面角A-NP-M的余弦值
10
5
點(diǎn)評：本題考查線線的位置關(guān)系，考查二面角知識的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握用向量的方法求二面角大小的步驟，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體最長的一條側(cè)棱長度是（　　）
A、5cm
B、
27
cm
C、
29
cm
D、
31
cm

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a3、a4、a6是一個等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則這個等比數(shù)列的第四項(xiàng)是（　�。�
A、8B、-8C、-6D、不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N*）
（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a1=1，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2-
1
ln2
，求數(shù)列{anbn2}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點(diǎn)為P（如圖）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)P，且與直線l：y=x+
3
交于A、B兩點(diǎn)，若△PAB的面積為2，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片．
（Ⅰ）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．（注：若三個數(shù)字a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，直線y=x被橢圓C截得的線段長為
4
10
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．
（i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Q是半徑為1的圓上一動點(diǎn)，若MN是該圓的一條動弦，且|MN|=
2
，則
MQ
•
MN
的取值范圍是
 
、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={y丨y=x2}，B={x丨
x+1
x-2
＜0}，求A∩B=（　�。�
A、[0，+∞）
B、（-1，2）
C、[0，2）
D、（-1，0]

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同步練習(xí)冊答案