【題目】已知數(shù)列、滿足,且
(1)令證明:是等差數(shù)列,是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù)列和的前n項(xiàng)和公式.
【答案】(1)證明見解析;(2),;(3)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【解析】
(1)在等式中將兩式分別相加或相減,利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列,利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)求出數(shù)列、的通項(xiàng)公式,可建立關(guān)于、的方程組,解出、,即可得出數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(3)利用分組求和法可求出數(shù)列和的前項(xiàng)和.
(1),
將上述兩等式相加得,
即,因此,又,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,.
又由題設(shè)得,即,
因此,又,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,;
(2)由(1)知,,即,
解得,;
(3)設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、,
則,同理可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定兩個(gè)命題,p:對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x2+ax+1≥0恒成立;q:冪函數(shù)y=xa-1在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;如果p與q中有且僅有一個(gè)為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知等差數(shù)列(公差不為零)和等差數(shù)列,如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解,那么以下九個(gè)方程()中,無實(shí)數(shù)解的方程最多有( )
A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算該項(xiàng)目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為:,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價(jià)值為元,若該項(xiàng)目不獲利,政府將給予補(bǔ)貼.
(1)當(dāng)時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤(rùn);如果不獲利,則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?
(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,且.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)上述的取值范圍為,若存在,使對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),若對(duì)一切正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;.
(3)是否存在正整數(shù),使得。成等比數(shù)列?若存在,求出所有的;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,對(duì)任意的,都有.
(1)求數(shù)列的遞推公式
(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè),問是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,.
(1)求證:平面ABCD;
(2)若,點(diǎn)F在EC上,且滿足EF=2FC,求二面角F—AD—C的余弦值.
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