【題目】如圖所示的幾何體中,

(1)求證:平面ABCD

(2),點(diǎn)FEC上,且滿(mǎn)足EF=2FC,求二面角FADC的余弦值.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)

【解析】

(1)在中,根據(jù)已知的邊、角條件運(yùn)用余弦定理可得出,再由

,

得出平面ABE.,由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得證;

(2)在以B為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,得出點(diǎn)的坐標(biāo),求出面的法向量,由(1)得平面ABCD,所以為平面ABCD的一個(gè)法向量,再根據(jù)向量的夾角公式求得二面角的余弦值.

(1)在中,

由余弦定理可得

所以,所以所以是直角三角形,.

,所以平面ABE.

因?yàn)?/span>平面ABE,所以,因?yàn)?/span>,

所以平面ABCD.

(2)由(1)知,平面ABE,所以平面平面AEB,在平面ABE中,過(guò)點(diǎn)B,則平面BEC,如圖,以B為原點(diǎn),BE,BC所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,

因?yàn)?/span>,所以,易知,

設(shè)平面ADF的法向量為

所以為平面ADF的一個(gè)法向量,

由(1)知平面ABCD,所以為平面ABCD的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角的平面角為

由圖知為銳角,則

所以二面角的余弦值為.

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