Question

【題目】設函數f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域R上的奇函數．
（1）若f（1）＞0，試求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）為R上的奇函數，∴f（0）=0，∴k﹣1=0k=1，

∴f（x）=ax﹣a﹣x

∵f（1）＞0，∴a﹣a﹣1＞0，a＞0，∴a＞1．

∴f（x）為R上的增函數

由f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0得：f（x2+2x）＞f（4﹣x）

即：x2+3x﹣4＞0x＜﹣4或x＞1．

即不等式的解集（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．

（2）解：由f（1）= 得a=2，

由（1）可知f（x）為[1，+∞）上的增函數．

f（x）≥f（1）=

所以g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x）=（f（x）﹣2）2﹣2≥﹣2（當f（x）=2時取等號）

故g（x）在[1，+∞）上的最小值﹣2．

【解析】先利用f（x）為R上的奇函數得f（0）=0求出k以及函數f（x）的表達式，（1）利用f（1）＞0求出a的取值范圍以及函數f（x）的單調性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函數f（x）是奇函數進行轉化，再利用求得的單調性解不等式即可；（2）先由f（1）= 得a=2，得出函數f（x）的單調性，再對g（x）進行整理，整理為用f（x）表示的函數，最后利用函數f（x）的單調性以及最值來求g（x）在[1，+∞）上的最小值．