Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)存在零點(diǎn)，且對(duì)任意都滿(mǎn)足，若關(guān)于的方程（）恰有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

令函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)為m，即f（m）＝0，則由對(duì)任意m，n∈R都滿(mǎn)足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．可得f[f（x）]＝x，進(jìn)而x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，可轉(zhuǎn)化為|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類(lèi)討論后，可得答案．

令函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)為m，即f（m）＝0，

∵對(duì)任意m，n∈R都滿(mǎn)足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．

則f[f（n）]＝n恒成立，

即f[f（x）]＝x，

若關(guān)于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，

即|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有兩個(gè)不同的根，不滿(mǎn)足條件；

當(dāng)1＜a＜3時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有一個(gè)不同的根，不滿(mǎn)足條件；

當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有兩個(gè)不同的根，不滿(mǎn)足條件；

當(dāng)a＞3時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，滿(mǎn)足條件；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，+∞），

故答案為：（3，+∞）