Question

已知f（x）為三次函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)f（x）有極大值4，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值0，且函數(shù)f（x）過原點(diǎn)，則此函數(shù)是（　�。�

• A、f（x）=x³-2x²+3x
• B、f（x）=x³-6x²+x
• C、f（x）=x³+6x²+9x
• D、f（x）=x³-6x²+9x

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)三次函數(shù)為y=ax³+bx²+cx+d，利用過原點(diǎn)，推出常數(shù)項(xiàng)為d=0，y'=3ax²+2bx+c，根據(jù)該函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)有極大值4，當(dāng)x=3時(shí)，有極小值0，得到方程組，從而可求a，b，c，故可得三次函數(shù)．

解答： 解：設(shè)三次函數(shù)為y=ax³+bx²+cx+d
因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以常數(shù)項(xiàng)為d=0
∴y=ax³+bx²+cx
∴y'=3ax²+2bx+c
由于該函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)有極大值4，當(dāng)x=3時(shí)，有極小值0，
所以3ax²+2bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根1和3
∴

1+3=- 2b 3a 1×3= c 3a a+b+c=4

，
∴a=1，b=-6，c=9
所以三次函數(shù)為y=x³-6x²+9x
故選D．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)解析式的求解，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，合理建立方程組．