Question

【題目】在平行四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，.連結(jié)，交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且平面平面，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

（1）先求得，，可得，結(jié)合，可得，，，可證明平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，取的中點(diǎn)為，連結(jié)，則，可證明平面，由此利用棱錐的體積公式可得三棱錐的體積.

（1）如題圖1，在中，，，所以.

在中，，所以.

所以.

如題圖2，，.又因?yàn)?/span>，所以，，，

所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）解法一：因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，平面，，所以平面.

取的中點(diǎn)為，連結(jié)，則，所以平面.

即為三棱錐的高.

且.

因?yàn)�，三棱錐的體積為.

解法二：因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

，所以平面.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn).

所以三棱錐的高等于.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以的面積是四邊形的面積的，

從而三棱錐的體積是四棱錐的體積的.

面，

所以三棱錐的體積為.