Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在處的切線過點(diǎn)．

① 求實(shí)數(shù)的值；

② 設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試比較與的大�。�

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證：．

Answer 1

【答案】(1)①;②見解析;(2)見解析.

【解析】分析：（1）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切點(diǎn)，表示出切線方程，代入切點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解；

②由，設(shè) ，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到結(jié)論．

（2）設(shè)通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù) 得到，進(jìn)而得到，設(shè)，得到單調(diào)減函數(shù)，即可作出證明．

詳解：（1）①因?yàn)?/span>，所以，

由曲線在處的切點(diǎn)為，

所以在處的切線方程為．

因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，所以．

②，

由．

設(shè)（），所以，

所以在為減函數(shù)．

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，有，則；當(dāng)時(shí)，有，則；

當(dāng)時(shí)，有，則．

（2）由題意，有兩個(gè)不等實(shí)根，（）．

設(shè)，則（），

當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，由，得，

列表如下：

		0
	↗	極大值	↘

由題意，

，解得，所以，

因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，

所以（）．

令（），

因?yàn)?/span>，所以在上為減函數(shù)，

所以，即，

所以，命題得證．