Question

已知f（x）=lnx-x+a+1
（1）若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范圍；
（2）求證：當x＞1時，在（1）的條件下，

1

2

x2+ax-a＞xlnx+

1

2

成立．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在x=1處取得最大值f（1）=a，即可求a的范圍；
（2）令g（x）=

1

2

x2+ax-a-xlnx-

1

2

，證明g′（x）≥0，即可證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x+a+1（x＞0），
∴f′（x）=

1

x

-1
∴函數(shù)在（0，1）上，f′（x）＞0，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函數(shù)在x=1處取得最大值f（1）=a，
∵存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，
∴a≥0；
（2）證明：令g（x）=

1

2

x2+ax-a-xlnx-

1

2

，
則g′（x）=x+a-lnx-1，
∵f（x）=lnx-x+a+1≤f（1）=a，
∴x-lnx-1≥0，
∴g′（x）≥0
∵x＞1，
∴g（x）＞g（1）=0，
∴

1

2

x2+ax-a＞xlnx+

1

2

成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，正確構(gòu)建函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．