Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求滿足條件的所有實數(shù)a，使e-1≤f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）e-1≤f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立，等價于

f(x)min≥e-1 f(x)max≤e2

，由（1）的結(jié)論求得函數(shù)的最值，解不等式組解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
∴函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

a2

x

-2x+a=

(a-x)(2x+a)

x

由于a＞0，
即f（x）的增區(qū)間為（0，a），f（x）的減區(qū)間為（a，+∞）．
（2）由題得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（1）知f（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增
要使e-1≤f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立
只要

f(1)=a-1≥e-1 f(e)=a2-e2+ae≤e2

解得a=e．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值等問題，考查恒成立問題的轉(zhuǎn)化求解能力，屬中檔題．