Question

已知正項函數(shù){a_n}滿足a₁=1，a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，n∈N^*
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{（-1）ⁿa_n²}的前2n項和S_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，可得（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，由題意可知a_n+1-a_n=2，進而可判斷{a_n}為等差數(shù)列，易求a_n；
（2）利用S_2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)=（a₂+a₁）•（a₂-a₁）+…+（a_2n+a_2n-1）（a_2n-a_2n-1）=2（a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n）即可得結(jié)果．

解答： 解：（1）由a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，得an+12=(an+2)2，
∴（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，
由a_n＞0，得a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}為等差數(shù)列，且公差為2，
∴{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．
（2）數(shù)列{（-1）ⁿa_n²}的前2n項和S_2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)
=（a₂+a₁）•（a₂-a₁）+…+（a_2n+a_2n-1）（a_2n-a_2n-1）
=2（a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n）
=2×

(1+4n-1)×2n

2

=8n²．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和，考查學(xué)生的運算求解能力，屬中檔題．