Question

已知g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，求a的最小值；
（3）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，解不等式即可；
（2）先根據(jù)f（x）在（1，+∞）遞減求出a的范圍，然后再借助于單調(diào)性求a的最小值．
（3）只需f（x）_max≤[f′（x）+a]_min，依此求值．

解答： 解：（1）g′(x)=

lnx-1

(lnx)2

，令g′（x）＞0得x＞e．
當(dāng)g′（x）＞0時，g（x）的增區(qū)間為（e，+∞）．
當(dāng)g′（x）＜0時，因?yàn)閤＞0，x≠1，所以g（x）的減區(qū)間為（0，1），（1，e）．
（2）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a．
因?yàn)樵趂（x）上（1，+∞）單調(diào)遞減，所以f′（x）≤0恒成立．則a≥

lnx-1

(lnx)2

．
設(shè)h（x）=

lnx-1

(lnx)2

=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

．
由于lnx＞0，所以h（x）的最大值為

1

4

，所以a≥

1

4

．
（3）由題意，只須f（x）≤f′（x）+a．
由（2）可知，f′(x)max=

1

4

-a，所以只須f(x)≤

1

4

．
即

x

lnx

-ax≤

1

4

，所以a≥

1

lnx

-

1

4x

．
設(shè)F（x）=

1

lnx

-

1

4x

，F′(x)=-

1

x(lnx)2

+

1

4x2

=

(lnx)2-4x

4x2(lnx)2

．
由于x∈[e，e²]，（lnx）²∈[1，4]，4x∈[4e，4e²]，所以F′（x）＜0，
F（x）在[e，e²]上單調(diào)遞減，所以F（x）的最小值為F(e2)=

1

2

-

1

4e2

．
所以a≥

1

2

-

1

4e2

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值中的應(yīng)用，涉及到不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．