【題目】已知點, ,點滿足,其中, ,且;圓的圓心軸上,且與點的軌跡相切與點.

(1)求圓的方程;

(2)若點,點是圓上的任意一點,求的取值范圍;

(3)過點的兩條直線分別與圓交于、兩點,若直線、的斜率互為相反數(shù),求證: .

【答案】(1);(2);(3)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)先求出點C的軌跡方程, 依題意,設(shè)圓 ,由圓心在軸上,求出 的值,得到圓的方程; (2) 設(shè) ,求出 ,轉(zhuǎn)化為求斜率為 的直線與圓有交點時,縱截距 的范圍, 當直線與圓相切時,求出范圍; (3)設(shè) ,設(shè)直線AP方程為 ,則直線AQ方程為,聯(lián)立直線與圓方程,求出 的表達式, 換成 ,求出直線PQ的斜率,與直線AD的斜率相等,所以 .

試題解析:

(1)依題意,可得,所以,所以,所以 , 三點共線,所以點的軌跡是直線,直線的方程為,整理得.

依題意,可設(shè)圓的方程為,整理得,由圓的圓心在軸上,可得,解得.

所以圓的方程為.

(2)設(shè),則, .

,可化為,它表示斜率為-1的一族平行直線, 是直線在軸上的截距,觀察圖形,可知當直線與圓相切時, 取得最值, 也取得相應最值.

,解得, ,所以的取值范圍是.

(3)證明:設(shè), .

又設(shè)直線的斜率分別為,則直線的斜率為,直線的方程分別為.

消去可得,則,用代換其中的可得.

所以 .

又因為,所以.

點睛: 本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系, 屬于中檔題. 解題思路: 在(1)中,由向量關(guān)系式得出A,B,C三點共線,求出直線AB的方程,再根據(jù)圓D與直線相切,設(shè)圓 ,由圓心在軸上,求出 的值,得到圓的方程;(2),注意轉(zhuǎn)化為直線 與圓有交點時, 的范圍; (3),要證明 ,可以分別求出直線PQ,AD的斜率,看是否相等,得到證明.

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