【題目】已知動圓過定點,且與直線相切,橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,點為坐標(biāo)原點,是其一個焦點,又點在橢圓上.
(1)求動圓圓心的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過的動直線交橢圓于點,交軌跡于兩點,設(shè)為的面積,為的面積,令的面積,令,試求的取值范圍.
【答案】(1),(2)
【解析】
試題分析:(1)動圓圓心滿足拋物線的定義:,所以方程為,而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,利用待定系數(shù)法:(2)先表示面積:拋物線中三角形面積,利用焦點,底邊OF為常數(shù),高為橫坐標(biāo)之差的絕對值,再根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理求解;橢圓中三角形面積,利用A點為定點,底邊AF為常數(shù),高為橫坐標(biāo)之差的絕對值,再根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理求解;研究函數(shù)關(guān)系式:是一元函數(shù),可根據(jù)直線斜率k取值范圍求解
試題解析:(1)依題意,由拋物線的定義易得動點的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
顯然有,∴,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)顯然直線的斜率存在,不妨設(shè)直線的直線方程為:①
聯(lián)立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,有,
設(shè)則有,
再將①式聯(lián)立拋物線方程,有,設(shè)得,∴,
∴,
∴當(dāng)時,,又,∴
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【題目】已知點, ,點滿足,其中, ,且;圓的圓心在軸上,且與點的軌跡相切與點.
(1)求圓的方程;
(2)若點,點是圓上的任意一點,求的取值范圍;
(3)過點的兩條直線分別與圓交于、兩點,若直線、的斜率互為相反數(shù),求證: .
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【題目】四棱錐中,點在平面內(nèi)的射影在棱上,,底面是梯形,,且.
(1)求證:平面平面;
(2)若直線與所成角為60°,求二面角的余弦值.
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【題目】已知△ABC的頂點C在直線3x﹣y=0上,頂點A、B的坐標(biāo)分別為(4,2),(0,5).
(Ⅰ)求過點A且在x,y軸上的截距相等的直線方程;
(Ⅱ)若△ABC的面積為10,求頂點C的坐標(biāo).
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【題目】給出下列四個命題中:
①函數(shù)的一個對稱中心為;
②若, 為第一象限角,且,則;
③若,則存在實數(shù),使得;
④點是三角形所在平面內(nèi)一點,且滿足,則點是三角形的內(nèi)心.
其中正確的序號是__________.(把你認(rèn)為正確的序號都填上)
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【題目】命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對于一切x∈R恒成立,命題q:x∈11,2], x2-a≥0,若p∨q為真,p∧q為假,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,以為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點,和平面內(nèi)一點(),過點任作直線與橢圓相交于, 兩點,設(shè)直線, , 的斜率分別為, , , ,試求, 滿足的關(guān)系式.
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